中学生の数学：正負の数

難しいことではないのですが、
「負の数」って何？
「負の数」×「負の数」の意味と、その答えは、なぜ「正の数」になるのか？
ちょっと考えすぎると、わけがわからなくなります。

「負の数」とは？

私たちの普通の生活では、「負の数」が出てくることは、あまりありません。今月の家計は、2万円の赤字だと言っても、-2万円の黒字とは言いません。ある基準に対して、足りているか？不足か？ということを、基準に対してどうなのかということを言葉で表現しているからでしょう。ただし、氷点下5℃という場合に、-5℃ということはよくあります。

「負の数」とは、「自然数」とは異なり、数学の表現で便宜上作られた数だということです。

つまり、不足するのであれば、基準に対して、どのくらい不足しているかを数学的に表現するために作られた数なのです。

自然数の計算法則

加法の交換法則：a + b = b + a
加法の結合法則：(a + b) + c = a + (b + c)
乗法の交換法則：ab = ba
乗法の結合法則：(ab)c = a(bc)
分配法則：a(b + c) = ab + ac

「負の数」の計算ルール

「負の数」は基準に対して不足の度合いを数学的に表現するために作られた数と説明しましたが、そのことは、「負の数」がある場合の計算ルールも決めなければなりません。

計算のルールですので、「負の数」に「負の数」をかけるって、どういうことかと考えても、残念ながら、解答は得られません。

(-a)×b=(-1)×a×b=(-1)×ab
ですので、「負の数」×「正の数」＝「負の数」

b×(-a)=b×(-1)×a=(-1)×ba
ですので、「正の数」×「負の数」＝「負の数」

「負の数」×「負の数」？

(-a)×(-b)=(-1)×a×(-1)×b=(-1)×(-1)×ab
ここで、(-1)×(-1)=(-1)×(1+(-2))=(-1)×1+(-1)×(-2)=-1+(-1)×(-1)×2
整理すると、(-1)×(-1)=1
だから、(-a)×(-b)=ab
よって、「負の数」×「負の数」＝「正の数」